हिंदी और अंग्रेजी मिश्रित: "NCERT Class 10 Maths Solutions: Exercise 1.3 (प्रश्नावली 1.3 हल)

विज्यतुम् - NCERT कक्षा दसवीं गणित पाठ 1 प्रश्नावली 1.3 का हल

प्रश्नावली 1.3: अपरिमेय संख्याएँ

प्रश्नावली 1.3 सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं:

प्रश्न 1: 1/√2

1. कल्पना: मान लीजिए कि 1/√2 एक परिमेय संख्या है।
2. परिभाषा: इसे p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, q ≠ 0, और p और q सह-अभाज्य हैं।
3. समीकरण: 1/√2 = p/q
4. सरलीकरण: √2 = q/p
5. विरोधाभास: q/p परिमेय है, लेकिन √2 अपरिमेय है।
6. निष्कर्ष: 1/√2 अपरिमेय है।

प्रश्न 2: 7√5

हल:

1. कल्पना: मान लीजिए कि 7√5 एक परिमेय संख्या है।
2. परिमेय संख्या की परिभाषा: इसे p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, q ≠ 0, और p और q सह-अभाज्य हैं।
3. समीकरण बनाना: 7√5 = p/q
4. सरलीकरण: √5 = p/(7q)
5. विरोधाभास: चूँकि p, q और 7 पूर्णांक हैं और q ≠ 0, इसलिए p/(7q) एक परिमेय संख्या है। लेकिन √5 अपरिमेय है। यह एक विरोधाभास है।
6. निष्कर्ष: इसलिए, 7√5 एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 3: 6 + √2

हल:

1. कल्पना: मान लीजिए कि 6 + √2 एक परिमेय संख्या है।
2. परिमेय संख्या की परिभाषा: इसे p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, q ≠ 0, और p और q सह-अभाज्य हैं।
3. समीकरण बनाना: 6 + √2 = p/q
4. सरलीकरण: √2 = p/q - 6 => √2 = (p - 6q)/q
5. विरोधाभास: चूँकि p और q पूर्णांक हैं, इसलिए (p - 6q)/q एक परिमेय संख्या है। लेकिन √2 अपरिमेय है। यह एक विरोधाभास है।
6. निष्कर्ष: इसलिए, 6 + √2 एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 4: 3 - √5

हल: (प्रश्न 3 के समान ही हल करें)

प्रश्न 5: √3 + √5

हल:

1. कल्पना: मान लीजिए कि √3 + √5 एक परिमेय संख्या है।
2. परिमेय संख्या की परिभाषा: इसे a/b के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ a और b पूर्णांक हैं, b ≠ 0, और a और b सह-अभाज्य हैं।
3. समीकरण बनाना: √3 + √5 = a/b
4. पृथक्करण: √5 = a/b - √3
5. वर्ग करना: दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, 5 = (a/b)² - 2(a/b)√3 + 3
6. सरलीकरण: 2(a/b)√3 = (a/b)² - 2 => √3 = [(a/b)² - 2] / [2(a/b)] => √3 = (a² - 2b²) / 2ab
7. विरोधाभास: चूँकि a और b पूर्णांक हैं, (a² - 2b²) / 2ab एक परिमेय संख्या है। लेकिन √3 अपरिमेय है। यह एक विरोधाभास है।
8. निष्कर्ष: इसलिए, √3 + √5 एक अपरिमेय संख्या है।