कक्षा 10 गणित - प्रश्नावली 1.2 (वास्तविक संख्याएँ)

प्रश्न 1: निम्नलिखित संख्याओं को उनके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

(i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429

हल:

(i) 2² × 5 × 7
(ii) 2² × 3 × 13
(iii) 3² × 5² × 17
(iv) 5 × 7 × 11 × 13
(v) 17 × 19 × 23

विस्तृत हल: अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने के लिए, हम संख्या को सबसे छोटे अभाज्य संख्या से विभाजित करते हैं जो उसे विभाजित करती है, और तब तक जारी रखते हैं जब तक हमें 1 न मिल जाए।

(i) 140:
140 ÷ 2 = 70
70 ÷ 2 = 35
35 ÷ 5 = 7
7 ÷ 7 = 1
इसलिए, 140 = 2 × 2 × 5 × 7 = 2² × 5 × 7

इसी प्रकार अन्य संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कर सकते हैं।

प्रश्न 2: पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM है।

(i) 26 और 91 (ii) 510 और 92 (iii) 336 और 54

हल:

(i) HCF = 13, LCM = 182
(ii) HCF = 2, LCM = 23460
(iii) HCF = 6, LCM = 3024

विस्तृत हल:
(i) 26 और 91:
26 के अभाज्य गुणनखंड = 2 x 13
91 के अभाज्य गुणनखंड = 7 x 13
HCF (26, 91) = 13 (उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल)
LCM (26, 91) = 2 x 7 x 13 = 182 (सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल, उभयनिष्ठ गुणनखंडों को केवल एक बार लेकर)
जाँच: 26 x 91 = 2366 और 13 x 182 = 2366. इसलिए, दो संख्याओं का गुणनफल = HCF x LCM

इसी प्रकार अन्य युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कर सकते हैं।

प्रश्न 3: अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए:

(i) 12, 15 और 21 (ii) 17, 23 और 29 (iii) 8, 9 और 25

हल:

(i) HCF = 3, LCM = 420
(ii) HCF = 1, LCM = 11339
(iii) HCF = 1, LCM = 1800

विस्तृत हल:
(i) 12, 15 और 21
12 = 2² × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
HCF (12, 15, 21) = 3
LCM (12, 15, 21) = 2² × 3 × 5 × 7 = 420
इस प्रकार, अन्य संख्याओं के HCF और LCM ज्ञात कर सकते हैं।

प्रश्न 4: HCF (306, 657) = 9 दिया है। LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।

हल:

LCM (306, 657) = (306 × 657) / HCF (306, 657)
= (306 × 657) / 9
= 22338

प्रश्न 5: जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।

हल:

नहीं, 6ⁿ कभी भी 0 पर समाप्त नहीं हो सकती। किसी संख्या के 0 पर समाप्त होने के लिए, उसके अभाज्य गुणनखंडों में 2 और 5 दोनों होने चाहिए। 6ⁿ = (2 × 3)ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ. चूँकि 6ⁿ के अभाज्य गुणनखंडों में 5 नहीं है, इसलिए यह कभी भी 0 पर समाप्त नहीं हो सकती।

प्रश्न 6: व्याख्या कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।

हल:

7 × 11 × 13 + 13 = 13 × (7 × 11 + 1) = 13 × 78 = 13 × 13 × 6 = 13 × 13 × 2 × 3. चूँकि इस संख्या के 1 और स्वयं के अलावा अन्य गुणनखंड (13, 2, 3, 6, 78) हैं, इसलिए यह एक भाज्य संख्या है।
7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 = 5040 + 5 = 5045 = 5 × 1009. चूँकि इस संख्या के 1 और स्वयं के अलावा अन्य गुणनखंड (5, 1009) हैं, इसलिए यह एक भाज्य संख्या है।

प्रश्न 7: किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे?

हल:

वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर उस समय मिलेंगे जो 18 और 12 का LCM है।
18 = 2 × 3²
12 = 2² × 3
LCM (18, 12) = 2² × 3² = 36 मिनट।

प्रश्न 8: सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

हम विरोधाभास द्वारा सिद्ध करेंगे। मान लीजिए √5 एक परिमेय संख्या है। तब इसे दो सह-अभाज्य पूर्णांकों p और q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ q ≠ 0.
√5 = p/q
5 = p²/q²
5q² = p²
इसका अर्थ है कि p², 5 से विभाज्य है, इसलिए p भी 5 से विभाज्य होगा। मान लीजिए p = 5r, जहाँ r एक पूर्णांक है।
5q² = (5r)² = 25r²
q² = 5r²
इसका अर्थ है कि q², 5 से विभाज्य है, इसलिए q भी 5 से विभाज्य होगा।
अब, p और q दोनों 5 से विभाज्य हैं, जो इस तथ्य का विरोध करता है कि p और q सह-अभाज्य हैं। इसलिए, हमारी धारणा गलत है और √5 एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 9: सिद्ध कीजिए कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

हम विरोधाभास द्वारा सिद्ध करेंगे। मान लीजिए 3 + 2√5 एक परिमेय संख्या है।
3 + 2√5 = a/b (जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और b ≠ 0)
2√5 = (a/b) - 3 = (a - 3b)/b
√5 = (a - 3b)/(2b)
चूँकि a, b और 3 पूर्णांक हैं, (a - 3b)/(2b) एक परिमेय संख्या है।
लेकिन हम जानते हैं कि √5 एक अपरिमेय संख्या है (प्रश्न 8 से)।
इसलिए, एक अपरिमेय संख्या एक परिमेय संख्या के बराबर नहीं हो सकती। यह एक विरोधाभास है।
अतः, हमारी धारणा गलत है और 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 10: बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं:

(i) 13/3125 (ii) 17/8 (iii) 64/455 (iv) 15/1600 (v) 29/343 (vi) 23/2³5² (vii) 129/2²5⁷7⁵ (viii) 6/15 (ix) 35/50 (x) 77/210

हल:

(i) 13/3125 = 13/5⁵ - सांत
(ii) 17/8 = 17/2³ - सांत
(iii) 64/455 = 64/(5 × 7 × 13) - असांत आवर्ती
(iv) 15/1600 = 15/(2⁶ × 5²) = 3/(2⁶ × 5) = 3/320 - सांत
(v) 29/343 = 29/7³ - असांत आवर्ती
(vi) 23/(2³ × 5²) - सांत
(vii) 129/(2² × 5⁷ × 7⁵)- असांत आवर्ती
(viii) 6/15 = 2/5 - सांत
(ix) 35/50 = 7/10 = 7/(2 × 5) - सांत
(x) 77/210 = 11/30 = 11/(2 × 3 × 5) - असांत आवर्ती