विज्यतुम्: मध्यप्रदेश बोर्ड कक्षा दसवीं गणित पाठ 1: वास्तविक संख्याएँ-2

कक्षा 10 गणित - प्रश्नावली 1.2 (वास्तविक संख्याएँ)

प्रश्न 1: निम्नलिखित संख्याओं को उनके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

(i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429

हल:

(i) 2² x 5 x 7
(ii) 2² x 3 x 13
(iii) 3² x 5² x 17
(iv) 5 x 7 x 11 x 13
(v) 17 x 19 x 23

विस्तृत हल: अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने के लिए, हम संख्या को सबसे छोटे अभाज्य संख्या से विभाजित करते हैं जो उसे विभाजित करती है, और तब तक जारी रखते हैं जब तक हमें 1 न मिल जाए।

(i) 140:
140 ÷ 2 = 70
70 ÷ 2 = 35
35 ÷ 5 = 7
7 ÷ 7 = 1
इसलिए, 140 = 2 x 2 x 5 x 7 = 2² x 5 x 7

इसी प्रकार अन्य संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कर सकते हैं.

प्रश्न 2: पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM है।

(i) 26 और 91 (ii) 510 और 92 (iii) 336 और 54

हल:

(i) HCF = 13, LCM = 182
(ii) HCF = 2, LCM = 23460
(iii) HCF = 6, LCM = 3024

विस्तृत हल:
(i) 26 और 91:
26 के अभाज्य गुणनखंड = 2 x 13
91 के अभाज्य गुणनखंड = 7 x 13
HCF (26, 91) = 13 (उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल)
LCM (26, 91) = 2 x 7 x 13 = 182 (सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल, उभयनिष्ठ गुणनखंडों को केवल एक बार लेकर)
जाँच: 26 x 91 = 2366 और 13 x 182 = 2366. इसलिए, दो संख्याओं का गुणनफल = HCF x LCM

इसी प्रकार अन्य युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कर सकते हैं.

प्रश्न 3: अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए:

(i) 12, 15 और 21 (ii) 17, 23 और 29 (iii) 8, 9 और 25

हल:

(i) HCF=3, LCM=420
(ii) HCF=1, LCM=11339
(iii) HCF=1, LCM=1800

प्रश्न 4: HCF (306, 657) = 9 दिया है। LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।

हल:

LCM (306, 657) = 22338

प्रश्न 5: जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6ⁿ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।

हल:

नहीं, 6ⁿ कभी भी 0 पर समाप्त नहीं हो सकती.

प्रश्न 6: व्याख्या कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।

हल:

दोनों संख्याएँ भाज्य हैं क्योंकि वे 1 और स्वयं के अलावा अन्य संख्याओं से विभाजित होती हैं। 7 × 11 × 13 + 13, 13 से विभाजित होती है, और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5, 5 से विभाजित होती है।

प्रश्न 7: किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे?

हल:

36 मिनट बाद वे प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे।

प्रश्न 8: सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

√5 को एक परिमेय संख्या मानकर हम विरोधाभास प्राप्त करते हैं, जिससे यह सिद्ध होता है कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 9: सिद्ध कीजिए कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

3 + 2√5 को एक परिमेय संख्या मानकर हम विरोधाभास प्राप्त करते हैं, जिससे यह सिद्ध होता है कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 10: बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं:

(i) 13/3125 (ii) 17/8 (iii) 64/455 (iv) 15/1600 (v) 29/343 (vi) 23/2³5² (vii) 129/2²5⁷7⁵ (viii) 6/15 (ix) 35/50 (x) 77/210

हल:

(i) सांत
(ii) सांत
(iii) असांत आवर्ती
(iv) सांत
(v) असांत आवर्ती
(vi) सांत
(vii) सांत
(viii) सांत
(ix) सांत
(x) असांत आवर्ती