मध्यप्रदेश बोर्ड कक्षा दसवीं गणित पाठ 1: वास्तविक संख्याएँ - विज्यतुं

 

मध्यप्रदेश बोर्ड कक्षा दसवीं गणित पाठ 1: वास्तविक संख्याएँ

इस पाठ में, हम वास्तविक संख्याओं की दुनिया में उतरेंगे। वास्तविक संख्याएं वे सभी संख्याएं हैं जिनकी हम कल्पना कर सकते हैं, चाहे वे धनात्मक हों, ऋणात्मक हों, दशमलव हों, या भिन्न हों।

1. वास्तविक संख्याएँ:

• प्राकृतिक संख्याएँ (N): 1, 2, 3, 4... ये वे संख्याएं हैं जिनका उपयोग हम वस्तुओं को गिनने के लिए करते हैं।
• पूर्ण संख्याएँ (W): 0, 1, 2, 3, 4... ये संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं के साथ 0 को मिलाकर बनती हैं।
• पूर्णांक (Z): ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3... ये संख्याएँ ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक संख्याओं को मिलाकर बनती हैं।
• परिमेय संख्याएँ (Q): p/q रूप की संख्याएँ जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0. उदाहरण: 1/2, -3/4, 5/1
• अपरिमेय संख्याएँ (Q'): वे संख्याएँ जो परिमेय नहीं हैं, जैसे √2, π (पाई)
• वास्तविक संख्याएँ (R): परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का सम्मिलित समूह।

2. वास्तविक संख्याओं का दशमलव प्रसार:

• परिमेय संख्याएँ: इनका दशमलव प्रसार या तो शांत होता है (अंतिम होता है), या आवर्ती होता है (एक या अधिक अंक बार-बार दोहराते हैं)।
  • उदाहरण: 1/2 = 0.5 (शांत) , 1/3 = 0.3333... (आवर्ती)
• अपरिमेय संख्याएँ: इनका दशमलव प्रसार न तो शांत होता है और न ही आवर्ती।
  • उदाहरण: √2 = 1.41421356... (अनंत और गैर-आवर्ती)

3. वास्तविक संख्याओं का गुणधर्म:

• समाकलन: किसी भी दो वास्तविक संख्याओं का योग भी एक वास्तविक संख्या होती है।
• साहचर्य: a + (b + c) = (a + b) + c
• तटस्थता: a + 0 = a
• प्रतिलोम: a + (-a) = 0
• विनिमय: a + b = b + a

4. अभाज्य संख्याएँ:

1 और स्वयं के अलावा किसी अन्य संख्या से विभाज्य नहीं होतीं। उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11...

5. भाज्य संख्याएँ:

1 और स्वयं के अलावा अन्य संख्याओं से भी विभाज्य होतीं हैं। उदाहरण: 4, 6, 8, 9, 10...

उदाहरण और प्रश्नावली:

उदाहरण 1:

दशमलव प्रसार के आधार पर बताएं कि 3.1416 एक परिमेय संख्या है या अपरिमेय।

हल: 3.1416 का दशमलव प्रसार शांत है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

उदाहरण 2:

√16 एक परिमेय संख्या है या अपरिमेय?

हल: √16 = 4, जो एक पूर्णांक है और इसलिए एक परिमेय संख्या है।

प्रश्नावली के कुछ सवालों के उदाहरण:

1. निम्न संख्याओं के दशमलव प्रसार ज्ञात कीजिए:
   • a) 1/4
   • b) 2/3
   • c) 5/6
2. सिद्ध कीजिए कि √2 एक अपरिमेय संख्या है।
3. 1 से 100 तक की सभी अभाज्य संख्याएँ लिखें।
4. बताएं कि निम्न संख्याएँ परिमेय हैं या अपरिमेय:
   • a) √3
   • b) 2.2360679...
   • c) 4/5
5. निम्नलिखित संख्याओं का योग ज्ञात करें:
   • a) 3 + √2
   • b) 2√3 + 5√3

सबसे महत्वपूर्ण बात:

यह पाठ वास्तविक संख्याओं की मूल बातों को समझने के लिए महत्वपूर्ण है। अभ्यास करते रहें, उदाहरणों का ध्यानपूर्वक अध्ययन करें, और प्रश्नावली के सवालों को हल करें। आपकी समझ और अधिक मजबूत होगी!