गणित शिक्षक

मध्यप्रदेश बोर्ड कक्षा दसवीं गणित पाठ 2 प्रश्नावली 2.1: बहुपद

खंड 1: बहुपदों को समझना और प्रश्नावली 2.1 के प्रश्न हल करने का तरीका

इस प्रश्नावली में हम बहुपदों, उनके प्रकारों और उनकी डिग्री को समझेंगे। बहुपद चर राशियों (x, y, आदि) और स्थिरांकों के योग या अंतर का एक व्यंजक होता है, जिसमें चर राशियों की घात गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होती है। एक बहुपद एक गणितीय व्यंजक होता है जिसमें चर और स्थिरांक शामिल होते हैं, जो जोड़े जाते हैं, घटाए जाते हैं, गुणा किए जाते हैं और विभाजित किए जाते हैं, लेकिन चर में कभी भी ऋणात्मक घात या भिन्नात्मक घात नहीं होती है।

बहुपद के कुछ उदाहरण:

• रैखिक बहुपद: 2x + 5
• द्विघात बहुपद: 3x² - 2x + 1
• त्रिघात बहुपद: 4x⁴ + 7x² - 3x + 2

बहुपद के प्रकार:

• रैखिक बहुपद: एक चर वाला बहुपद जिसकी उच्चतम घात 1 होती है। उदाहरण: 2x + 5। इस प्रकार के बहुपद का ग्राफ एक सीधी रेखा होता है। एक रैखिक बहुपद में चर की अधिकतम घात 1 होती है। इसका ग्राफ एक सीधी रेखा होता है। इसका सामान्य रूप ax + b होता है, जहाँ a और b स्थिरांक हैं और a शून्य नहीं है।
• द्विघात बहुपद: एक चर वाला बहुपद जिसकी उच्चतम घात 2 होती है। उदाहरण: 3x² - 2x + 1। इस प्रकार के बहुपद का ग्राफ एक परवलय होता है। एक द्विघात बहुपद में चर की अधिकतम घात 2 होती है। इसका ग्राफ एक परवलय होता है। इसका सामान्य रूप ax² + bx + c होता है, जहाँ a, b और c स्थिरांक हैं और a शून्य नहीं है।
• त्रिघात बहुपद: एक चर वाला बहुपद जिसकी उच्चतम घात 3 होती है। उदाहरण: 4x⁴ + 7x² - 3x + 2। इस प्रकार के बहुपद का ग्राफ एक S आकार का होता है। एक त्रिघात बहुपद में चर की अधिकतम घात 3 होती है। इसका ग्राफ एक S आकार का होता है। इसका सामान्य रूप ax³ + bx² + cx + d होता है, जहाँ a, b, c और d स्थिरांक हैं और a शून्य नहीं है।

बहुपद की डिग्री:

बहुपद में चर की उच्चतम घात को बहुपद की डिग्री कहा जाता है। उदाहरण के लिए, बहुपद 3x² - 2x + 1 की डिग्री 2 है। बहुपद की डिग्री बहुपद के प्रकार को निर्धारित करती है।

प्रश्नावली 2.1 में दिए गए प्रश्न बहुपदों को पहचानने, उनके प्रकारों को निर्धारित करने, उनकी डिग्री जानने और उन्हें विभिन्न तरीकों से व्यक्त करने के लिए हैं।

प्रश्नों को हल करने के लिए हम निम्नलिखित चरणों का पालन कर सकते हैं:

1. दिए गए व्यंजक को ध्यान से देखें: व्यंजक में चर और स्थिरांक के साथ-साथ उनके संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) का ध्यानपूर्वक अवलोकन करें।
2. चरों की घातों की जांच करें: व्यंजक में चर राशियों की घातें देखें। यह सुनिश्चित करें कि सभी घात गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। यदि किसी चर की घात भिन्नात्मक है या ऋणात्मक है, तो यह बहुपद नहीं है।
3. चर की उच्चतम घात ज्ञात करें: व्यंजक में चर की उच्चतम घात का पता लगाएँ। यह बहुपद की डिग्री है।
4. उच्चतम घात के आधार पर बहुपद का प्रकार निर्धारित करें: चर की उच्चतम घात के आधार पर बहुपद को रैखिक, द्विघात, त्रिघात आदि में वर्गीकृत करें।
5. बहुपद की डिग्री बताएँ: चर की उच्चतम घात को बहुपद की डिग्री के रूप में बताएँ।

प्रश्नावली 2.1 के प्रश्न हल करने के लिए निम्नलिखित आधारभूत अभ्यासों का उपयोग कर सकते हैं:

• चरों की घातों की पहचान करना।
• बहुपदों के विभिन्न प्रकारों को परिभाषित करना।
• बहुपद की डिग्री को सही ढंग से निर्धारित करना।
• विभिन्न प्रकार के बहुपदों को लिखना और उनका प्रतिनिधित्व करना।
• बहुपदों के जोड़, घटाव, गुणा और भाग का अभ्यास करना।

बहुपदों के लिए महत्वपूर्ण बातें:

• स्थिरांक बहुपद: एक बहुपद जिसकी डिग्री 0 होती है। उदाहरण: 5। एक स्थिरांक बहुपद में कोई चर नहीं होता है और इसका ग्राफ एक क्षैतिज रेखा होती है।
• शून्य बहुपद: एक बहुपद जिसकी सभी गुणांकों का मान शून्य होता है। उदाहरण: 0। शून्य बहुपद का कोई डिग्री नहीं होती है, और इसका ग्राफ X-अक्ष के साथ मेल खाता है।
• बहुपदों का जोड़ और घटाव: बहुपदों को जोड़ने या घटाने के लिए, समान चर की घात वाले पदों को एक साथ जोड़ा या घटाया जाता है।
• बहुपदों का गुणा: बहुपदों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है।
• बहुपदों का भाग: बहुपदों का भाग सामान्य रूप से लंबा भाग का उपयोग करके किया जाता है।
• बहुपदों का शून्य:** बहुपद का शून्य वह मान होता है जो चर को प्रतिस्थापित करने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है।

कुछ अतिरिक्त महत्वपूर्ण बिंदु:

• बहुपदों का जोड़ना और घटाना:** समान चर की घात वाले पदों को एक साथ जोड़ा या घटाया जाता है।
• बहुपदों का गुणा:** प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है।
• बहुपदों का भाग:** लंबा भाग का उपयोग करके किया जाता है।
• बहुपदों का शून्य:** बहुपद का शून्य वह मान होता है जो चर को प्रतिस्थापित करने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है।

खंड 2: प्रश्नावली 2.1 के प्रश्न हल करना

प्रश्न 1: निम्नलिखित व्यंजकों में से कौन से बहुपद हैं? कारण बताएँ।

• (i) 4x² - 3x + 2
• (ii) 3x³ + 5x² - 2x + 1
• (iii) 5x - √x + 2
• (iv) x² + 2/x - 3
• (v) 2x² - 5x + 4/x - 1

हल:

• (i) बहुपद: क्योंकि इसमें केवल चर की गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात हैं।
• (ii) बहुपद: क्योंकि इसमें केवल चर की गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात हैं।
• (iii) बहुपद नहीं: क्योंकि इसमें x की घात 1/2 (√x) है जो पूर्णांक नहीं है।
• (iv) बहुपद नहीं: क्योंकि इसमें x की घात -1 (2/x) है जो पूर्णांक नहीं है।
• (v) बहुपद नहीं: क्योंकि इसमें x की घात -1 (4/x) है जो पूर्णांक नहीं है।

प्रश्न 2: निम्नलिखित बहुपदों की डिग्री बताएँ:

• (i) 5x³ - 4x² + 2x - 1
• (ii) 2x² - 3x + 4
• (iii) 7x - 10
• (iv) 3
• (v) 2x⁴ - 5x³ + 3x + 2

हल:

• (i) डिग्री = 3 (चर की उच्चतम घात 3 है)
• (ii) डिग्री = 2 (चर की उच्चतम घात 2 है)
• (iii) डिग्री = 1 (चर की उच्चतम घात 1 है)
• (iv) डिग्री = 0 (चर की कोई घात नहीं है)
• (v) डिग्री = 4 (चर की उच्चतम घात 4 है)

प्रश्न 3: निम्नलिखित बहुपदों को उनके प्रकार (रैखिक, द्विघात, त्रिघात) के अनुसार वर्गीकृत करें:

• (i) 2x + 5
• (ii) 3x² - 2x + 1
• (iii) 4x⁴ + 7x² - 3x + 2
• (iv) 5x - 10
• (v) 2x² + 3x - 4

हल:

• (i) रैखिक बहुपद
• (ii) द्विघात बहुपद
• (iii) चतुर्थ घात बहुपद (चार की घात के कारण)
• (iv) रैखिक बहुपद
• (v) द्विघात बहुपद

प्रश्न 4: एक चर वाले बहुपद का उदाहरण दें जिसकी डिग्री:

• (i) 5
• (ii) 10
• (iii) 0

हल:

• (i) 2x⁵ - 3x⁴ + 5x² - 2
• (ii) 3x¹⁰ + 2x⁷ - 4x³ + 1
• (iii) 5 ( स्थिरांक बहुपद )

प्रश्न 5: निम्नलिखित में से कौन से बहुपद हैं? अपने उत्तर का औचित्य दें:

• (i) 2x² - 3x + 5
• (ii) √x + 1
• (iii) x² + 1/x - 3
• (iv) x² - 2x + √2

हल:

• (i) बहुपद: चर की घातें सभी पूर्णांक हैं।
• (ii) बहुपद नहीं: चर की घात 1/2 है जो पूर्णांक नहीं है।
• (iii) बहुपद नहीं: चर की घात -1 है जो पूर्णांक नहीं है।
• (iv) बहुपद: चर की घातें सभी पूर्णांक हैं।

खंड 3: वस्तुनिष्ठ प्रश्न

निम्नलिखित वस्तुनिष्ठ प्रश्नों के सही उत्तर चुनें:

1. निम्नलिखित में से कौन सा बहुपद नहीं है?
1. (a) 2x² - 3x + 5
2. (b) √x + 1
3. (c) x³ + 2x² - 1
4. (d) 4x⁴ + 2x² - 5
2. बहुपद 3x² - 2x + 1 की डिग्री क्या है?
1. (a) 1
2. (b) 2
3. (c) 3
4. (d) 0
3. निम्नलिखित में से कौन सा रैखिक बहुपद है?
1. (a) 2x² + 3x - 1
2. (b) 4x³ - 2x² + 5x
3. (c) 5x - 2
4. (d) 3x⁴ + 2x³ - 5x² + 1
4. बहुपद 5x⁴ + 2x³ - 5x² + 1 का स्थिरांक पद क्या है?
1. (a) 5
2. (b) 2
3. (c) -5
4. (d) 1
5. एक द्विघात बहुपद में कितने पद हो सकते हैं?
1. (a) 1
2. (b) 2
3. (c) 3
4. (d) 1 या 2 या 3
6. यदि बहुपद x³ + 2x² - 5x + k की डिग्री 3 है, तो k का मान क्या है?
1. (a) 0
2. (b) 1
3. (c) 2
4. (d) 3
7. निम्नलिखित में से कौन सा एक रैखिक बहुपद है?
1. (a) 2x² + 3x - 1
2. (b) 5x - 2
3. (c) 4x³ - 2x² + 5x
4. (d) 3x⁴ + 2x³ - 5x² + 1
8. बहुपद 2x² - 3x + 5 में x² का गुणांक क्या है?
1. (a) 2
2. (b) -3
3. (c) 5
4. (d) 1
9. यदि एक बहुपद की डिग्री 2 है, तो इसे क्या कहा जाता है?
1. (a) रैखिक बहुपद
2. (b) द्विघात बहुपद
3. (c) त्रिघात बहुपद
4. (d) स्थिरांक बहुपद
10. बहुपद 3x + 2 की डिग्री क्या है?
1. (a) 0
2. (b) 1
3. (c) 2
4. (d) 3

**उत्तर:**

1. (b)
2. (b)
3. (c)
4. (d)
5. (d)
6. (a)
7. (b)
8. (a)
9. (b)
10. (b)

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